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市场波动率指数 (VIX) 为什么只用虚值的期权计算?
[  时间:2019-11-06 08:28:46   浏览:4次 ]

VIX本身,跟Black Scholes隐含波动率是没有关系的。市场上有一种广泛存在的误会,就是以为VIX是隐含波动率的一种加权平均。其实VIX比这美妙的多,后现代quant已经在学术上对BS模型做了很多革新,VIX就是其中一个成果。为什么VIX只用虚值期权算?VIX计算公式里面,期权的出现是为了近似 “泰勒展开的余项” 的。


VIX这个东西的发明,是为了解决这样的一个问题:当volatility skew存在的情况下,Black-Scholes的恒定波动率假设部分破了产,我们有没有办法跳过这个公式,而通过其他方式去知道我们想知道的东西:未来某一段时间,我们关心的某个asset的variance会有多大。在VIX中,这段时间是一个月,这个asset是SP500 index。


整个VIX的基础assumption非常的弱。只有这一条:注意这里都是可以随着时间变化无常的函数,是什么东西都可以。(这个assumption是非常包罗万象的。它唯一说了的事情就是,资产价格在局部是个类brownian motion形态。)然后从这个清新简单的假设开始,就可以变魔术了^ ^ 根据Ito's Lemma:(这里就是变了个形,没有新信息)为什么要突然引入自然对数变形呢,因为这么一变,我们关心的variance就可以被表达出来了:这里一共两项。前一项积分离散化一下就可以了,问题出在是第二项,这个自然对数好像并不是太好算。


天才数学家想到了带积分余项的泰勒公式。(公式完整版见本帖尾部)美妙的是,这个公式并没有进行任何的近似,等号就是严格等于。把带入上式,线性变形一下会得到:(这里改用了K是为了后面结合option。)现在有个问题就是,不知道和哪个大,所以有可能积分会倒过来。如果考虑到这一点,我们可以把刚才这个积分写成这样:如果进一步添加一些实际上被积函数等于0的地方,还可以这样写:值得注意的是,从本文的开头到这里,所有等号全部都是严格等于,没有使用到任何的离散化。
综上所述,我们关心的要算的Variance是这样的:(左右两边完全相等)到这一步应该有明眼人已经看出来了:这里面就是Option Payoff嘛。


最后一步:结合Market 数据离散近似该表达式。这一步因为的随机属性,涉及到求期望,因为求了期望所以又涉及一些风险中性测度的东西,这些都用的很简单,为了本文不流于细节,我就略过了。只探讨一个部分:Option price是怎么用进去的。表达式前面的部分完全用不到期权,但是最后两个积分,离散化之后是这样:到这一步为什么只使用虚值期权就很明白了。


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